简介
Floyd-Warshall算法是求解多源最短路的算法之一，核心思想是动态规划，适用于不包含负环（负权回路）的图。时间复杂度\(O(n^{3})\)，空间复杂度\(O(n^{2})\)。
Floyd-Warshall算法
对于任何一个点而言，i到j的最短距离不外乎i到j经过k和不经过k两种可能，所以可以令\(k=1,2,3,\ldots,n\)，检查\(dis(i, j)\)与\(dis(i, k)+dis(k, j)\)的大小，在此\(dis(i, k)\)与\(dis(k, j)\)分别是目前为止所知的i到k与k到j的最短距离，因此\(dis(i, k)+dis(k, j)\)就是i到j经过k的最短距离。
所以，若有\(dis(i, j) \gt dis(i, k)+dis(k, j)\)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的距离\(dis(i, j)\)更新为\(dis(i, k)+dis(k, j)\)，更新完后\(dis(i, j)\)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当遍历完k时，\(dis(i, j)\)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
我们定义数组\(dp[k][x][y]\)表示只允许经过结点1到k，结点x到结点y的最短路径长度，那么状态转移方程就是\(dp[k][x][y] = min(dp[k-1][x][y], dp[k-1][x][k]+dp[k-1][k][y])\)，可以发现第一维是没有用的，于是直接改成\(dp[x][y] = min(dp[x][y], dp[x][k]+dp[k][y])\)。
代码实现很简单，不过要注意循环的嵌套循序，k作为阶段，枚举时的循环要放在最外层：
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| void floyd(int n)
{
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k]+g[k][j]);
}
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*传递闭包
Floyd算法不仅可以求最短路，也可以维护关系求传递闭包。建立邻接矩阵\(f[i][j]\)表示i和j是否有关系，跑一遍floyd，然后检查\(f[i][j]\&f[j][i]\)是否为1。下面给出bitset优化版本，时间复杂度\(O(\frac{n^{3}}{w})\)。
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void floyd(int n)
{
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
if(f[i][k]) f[i] = f[i] | f[k];
}
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模板
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| const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mxn = 1e3 + 5;
int g[mxn][mxn], pre[mxn][mxn];
void graph_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<=n; j++)
g[i][j] = inf;
g[i][i] = 0;
}
}
void floyd_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<= n; j++){
pre[i][j] = (g[i][j]==inf ? -1 : j);
}
}
}
void floyd(int n)
{
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++){
if(g[i][k]+g[k][j] < g[i][j]){
g[i][j] = g[i][k]+g[k][j];
pre[i][j] = pre[i][k];
}
}
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
graph_init(n);
for(int i=0; i<m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
g[u][v] = w;
}
floyd_init(n);
floyd(n);
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<=n; j++)
printf("%d ", g[i][j]);
printf("\n");
}
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<=n; j++)
printf("%d ", pre[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}
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