简介
Bellman-Ford算法是求解单源最短路的算法之一，适用于可包含负边权的有向和无向图，可以判断是否包含负环（注意，如果是包含负权回路则不存在最短路问题）。时间复杂度\(O(nm)\)。
Bellman-Ford算法
因为最短路径上最多有n-1条边，所以Bellman-Ford算法最多有n-1个阶段。在每一个阶段，我们对每一条边都要执行松弛操作。其实每实施一次松弛操作，就会有一些顶点已经求得其最短路，即这些顶点的最短路的“估计值”变为“确定值”。此后这些顶点的最短路的值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响(但是，每次还是会判断是否需要松弛)。在前k个阶段结束后，就已经找出了从源点出发“最多经过k条边”到达各个顶点的最短路。直到进行完n-1个阶段后，便得出了最多经过n-1条边的最短路。
核心代码如下：
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| int bellman(int s, int n, int m)
{
dis[s] = 0;
for(int k=1; k<n; k++){
for(int i=1; i<=m; i++){
dis[v[i]] = min(dis[v[i]], dis[u[i]]+w[i]);
}
}
return 0;
}
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如果在n-1次松弛之后，还有可以进行松弛的边，那么就存在负环（负权回路）：
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| int bellman(int s, int n, int m)
{
dis[s] = 0;
for(int k=1; k<n; k++){
for(int i=1; i<=m; i++){
if(dis[u[i]]+w[i] < dis[v[i]]){
dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
pre[v[i]] = u[i];
}
}
}
for(int i=1; i<=m; i++){
if(dis[u[i]]+w[i] < dis[v[i]]){
return -1;
}
}
return 0;
}
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SPFA
SPFA是Bellman-Ford算法的队列优化，核心思想，只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起它们的邻接点的距离估计值的改变。为什么队列为空就不改变了呢？就是因为要到下一点必须经过它的前一个邻接点。
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
核心代码如下：
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| int spfa(int s, int n)
{
dis[s] = 0; vis[s] = 1; q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;
for(int i=H[u]; ~i; i=e[i].next){
int v = e[i].to, w = e[i].w;
if(dis[u]+w < dis[v]){
dis[v] = dis[u]+w;
if(!vis[v]) q.push(v), vis[v] = 1;
}
}
}
return 0;
}
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其它优化
除了队列优化（SPFA）之外，Bellman-Ford 还有其他形式的优化，这些优化在部分图上效果明显，但在某些特殊图上，最坏复杂度可能达到指数级。
- 堆优化：将队列换成堆，与 Dijkstra 的区别是允许一个点多次入队。在有负权边的图可能被卡成指数级复杂度。
- 栈优化：将队列换成栈（即将原来的 BFS 过程变成 DFS），在寻找负环时可能具有更高效率，但最坏时间复杂度仍然为指数级。
- LLL 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队内距离平均值比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。
- SLF 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。
更多优化以及针对这些优化的 Hack 方法，可以看 fstqwq 在知乎上的回答 。
模板
Bellman-Ford算法：
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| const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mxn = 1e3 + 5;
int u[mxn], v[mxn], w[mxn];
int dis[mxn], pre[mxn];
void bellman_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
dis[i] = inf;
pre[i] = 0;
}
}
int bellman(int s, int n, int m)
{
int k=0, f=1; dis[s] = 0;
while(f)
{
if(++k > n) return -1;
f = 0;
for(int i=1; i<=m; i++){
if(dis[u[i]]+w[i] < dis[v[i]]){
dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
pre[v[i]] = u[i];
f = 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d %d %d", &u[i], &v[i], &w[i]);
}
bellman_init(n);
if(bellman(1, n, m) == -1)
{
printf("包含负权回路\n");
}
else
{
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ", dis[i]);
printf("\n");
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ", pre[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
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SPFA：
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| const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mxn = 1e3 + 5;
struct E {
int to, next, w;
} e[mxn];
int H[mxn], tot;
void add(int from, int to, int w) {
e[tot] = {to, H[from], w};
H[from] = tot++;
}
void graph_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
H[i] = -1;
tot = 0;
}
int dis[mxn], pre[mxn], num[mxn];
bool vis[mxn];
queue<int> q;
void spfa_init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++){
dis[i] = inf;
num[i] = pre[i] = 0;
}
}
int spfa(int s, int n)
{
dis[s] = 0; q.push(s);
num[s] = vis[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;
for(int i=H[u]; ~i; i=e[i].next){
int v = e[i].to, w = e[i].w;
if(dis[u]+w < dis[v]){
dis[v] = dis[u]+w;
pre[v] = u;
if(!vis[v]){
q.push(v), vis[v] = 1;
if(++num[v] > n) return -1;
}
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
graph_init(n);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
add(u, v, w);
}
spfa_init(n);
if(spfa(1, n) == -1)
{
printf("包含负权回路\n");
}
else
{
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ", dis[i]);
printf("\n");
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ", pre[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
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